Marteludico – Le tessere

Tutti i martedì proponiamo un gioco matematico. Potete provare a risolverlo e lasciare un commento con il risultato. Il martedì successivo verrà pubblicata la soluzione.

Cesco ama giocare con le tessere. Oggi ha trovato nel cassetto del comodino 45 tessere così contrassegnate:

  • una tessera con scritto il numero 1;
  • due tessere con scritto il numero 2;
  • tre tessere con scritto il numero 3;
  • nove tessere con scritto il numero 9.

Quanti sono i possibili diversi numeri di 6 cifre che si possono comporre con le tessere?

Il gioco di martedì scorso (di Giorgio Dendi)

  • Esiste un triangolo con gli angoli in successione, in modo che misurino x, 2x, 3x? Sì, esiste, e gli angoli misurano 30°, 60°, 90°.
  • Esiste un quadrilatero con gli angoli in successione, in modo che misurino x, 2x, 3x, 4x?
  • Esiste un pentagono con gli angoli in successione, in modo che misurino x, 2x, 3x, 4x, 5x?
  • Esiste un poligono di n lati con gli angoli in successione, in modo che misurino x, 2x, 3x, … nx?

A quasi tutte queste domande la risposta è affermativa, meno che in pochi casi. Quando?

Soluzione. Immaginiamo di dover trovare le misure degli angoli del triangolo: saranno x, 2x, 3x, per un totale 6x. Siccome la somma degli angoli interni vale 180°, l’angolo minore misurerà 180°/6 = 30°, e quindi avremo 30°, 60°, 90°.
Passiamo al quadrilatero, dove gli angoli saranno x, 2x, 3x, 4x, per un totale di 10x. Siccome la somma degli angoli interni vale 2*180°, l’angolo minore misurerà 2*180°/10 = 36°, e quindi avremo 36°, 72°, 108°, 144°.
Passiamo al pentagono, dove gli angoli saranno x, 2x, 3x, 4x, 5x, per un totale di 15x. Siccome la somma degli angoli interni vale 3*180°, l’angolo minore misurerà 3*180°/15 = 36°, e quindi avremo 36°, 72°, 108°, 144°, 180°. Secondo i calcoli, fila tutto liscio, come nei casi precedenti, ma ci è capitato un angolo di 180°, cioè piatto, e quindi inesistente: la figura è degenere e diventa un quadrilatero, quindi un pentagono come richiesto non esiste.
Proseguendo come sopra, troviamo che un esagono avrà gli angoli con numeri decimali, a partire da 34,285714…°, l’ettagono avrà gli angoli multipli di 32,142857…°, e l’ottagono, avendo gli angoli di 30°, 60°, 90°, 120°, 150°, 180°, 210°, 240°, sarà nuovamente una figura degenere, e quindi non valida, avendo un angolo di 180°.
Proseguendo nei calcoli, non si trovano altre figure impossibili da ottenere, e quindi possiamo rispondere che esistono figure come richiesto con qualunque numero di lati, tranne 5 e 8, in quanto risultano degeneri.
Si può dare una risposta più rigorosa, osservando che la somma degli angoli di una figura di n lati vale (n-2)*180, e dividendo questo risultato per l’n-simo numero triangolare (la cui formula è n*(n+1)/2), si ottiene la misura dell’angolo minore.
L’angolo minore misurerà quindi 360*(n-2)/n*(n+1). Possiamo ottenere una figura degenere soltanto se uno dei suoi multipli vale180°. La ricerca ci dà nuovamente risultati solo nei casi n=5; n=8.

Marteludico – Il poligono in scala

Tutti i martedì proponiamo un gioco matematico. Potete provare a risolverlo e lasciare un commento con il risultato. Il martedì successivo verrà pubblicata la soluzione. Questa settimana il gioco proposto è di Giorgio Dendi.

  • Esiste un triangolo con gli angoli in successione, in modo che misurino x, 2x, 3x? Sì, esiste, e gli angoli misurano 30°, 60°, 90°.
  • Esiste un quadrilatero con gli angoli in successione, in modo che misurino x, 2x, 3x, 4x?
  • Esiste un pentagono con gli angoli in successione, in modo che misurino x, 2x, 3x, 4x, 5x?
  • Esiste un poligono di n lati con gli angoli in successione, in modo che misurino x, 2x, 3x, … nx?

A quasi tutte queste domande la risposta è affermativa, meno che in pochi casi. Quando?

Il gioco di martedi scorso

Giorgio trova in soffitta una vecchia calcolatrice, di cui funzionano tutti gli operatori, ma non tutte le cifre. In particolare Giorgio nota che solo tre cifre da 1 a 9 funzionano. Nemmeno lo zero funziona.

Giorgio allora addiziona i sei numeri che si possono formare usando le tre cifre distinte che ancora funzionano e scopre, con stupore, che il totale è ancora un numero che si scrive utilizzando le cifre di questi tre tasti.

Quali sono i tre tasti numerici che ancora funzionano sulla calcolatrice?

Soluzione. Il problema ammette tre triple possibili, multiple tra di loro

  • 1, 2, 3
  • 2, 4, 6
  • 3, 6, 9.

Una storia matematica – Capitolo nove

di Alessio Palmero Aprosio

Continua il racconto matematico in n puntate.

La sera si trovarono tutti in piazza alle nove, più o meno in punto. Le ragazze arrivarono con qualche minuto di ritardo.

– E poi dicono che noi uomini abbiamo pregiudizi nei vostri confronti. – disse Andrea.
– Dai, che sono solo cinque minuti. – rispose Giulia.

Dario diplomaticamente disse:

– Salite in macchina, altrimenti non arriviamo più. Voi sapete dove andare?
– Certo! – rispose Andrea
– Qualcun altro sa dove dobbiamo andare? – disse sorridendo Dario
– Non ti fidi più di me? Al massimo chiediamo a qualcuno che incontriamo sulla strada, così da sfatare questo mito secondo cui gli uomini non vogliono mai chiedere informazioni.
– Io non ho mai detto niente, – intervenne Giulia – e poi siete voi quelli dei pregiudizi. Prima il bagno, ora il ritardo…
– C’è un bivio. Dove devo andare? – disse Dario – Il cartello è caduto.

I ragazzi si trovavano presso un bivio, ormai si era fatto buio. Sul lato della strada c’era un giovanotto che sembrava straniero, anch’egli con la sua macchina.

– Lui sicuramente saprà dove andare per la festa inaugurale. – disse Andrea
– Prova a chiederglielo. – rispose Dario
– Ora provo… Mi scusi, – il ragazzo si voltò e rimase in silenzio con un’espressione distaccata – saprebbe indicarmi la strada per la festa inaugurale dell’Università?

Il giovane rimase in silenzio e parve arrabbiato per il disturbo che i quattro studenti gli stavano creando.
Dall’altro lato della strada si sentì una voce:

– È svizzero.

A parlare era una persona piuttosto anziana, che sembrava essere apparso dal nulla.
Andrea si avvicinò al nuovo arrivato:

– Mi scusi, buon uomo, stiamo cercando una festa, non vediamo nessuno e a questo punto crediamo di esserci persi. Ci saprebbe indicare la strada per la cascina?
– Non so proprio aiutarvi, mi spiace. Sicuramente però lui potrà esservi di aiuto, solo che è svizzero.
– Quindi capisce e parla la nostra lingua, o per lo meno il francese, no?
– Nemmeno per sogno. Conosce solo lo svizzero.
– Ma che lingua è lo svizzero? In Svizzera parlano italiano, francese e tedesco. Non parlano lo svizzero.
– E invece questo parla lo svizzero, però capisce giustamente le tre lingue che hai appena elencato. Solo che non le parla.
– E come fa a rispondermi?
– Ti posso dire che “ra” e “ti” vogliono dire sì o no, ma non so quale dei due vuol dire sì e quale no.
– Be’, questo vuol dire che devo fargli una domanda la cui risposta sia sì o no, che per lui saranno ra e ti.
– Esatto, ma ricordati che non sai qual è il significato singolo dei due termini.
– Non è un problema, ho già in mente la domanda da fargli, sempre che lui capisca la mia lingua.
– Certo, la capisce alla perfezione.

Andrea si avvicinò al ragazzo svizzero quando il vecchio lo interruppe:

– Ah, dimenticavo. Gli svizzeri sono un popolo molto strano. Alcuni dicono sempre la verità, altri sempre il falso. Tieni conto di questo nella tua domanda.
– Ho capito, ma questo qui – indicando il giovane – è uno di quelli che mente sempre o uno di quelli che dice sempre la verità?
– Non ne ho la più pallida idea.
– Idea! Prima gli faccio una domanda per sapere questo, e poi quella per farmi dire qual è la strada giusta.
– Non credo che così funzioni. Gli svizzeri di solito si arrabbiano se devono rispondere a più di una domanda.
– Vuole dire che devo fargli una sola domanda?
– Già, una sola.
– Ma non so né se dice il vero o il falso, né cosa vogliono dire ra e ti. E tantomeno conosco la strada giusta.
– È un grosso problema, ma dovrai cavartela da solo, sempre che tu voglia andare alla festa.

Andrea si girò verso gli altri:

– Ragazzi, vogliamo proprio andare alla festa?
– Be’, possiamo optare per un gelato in centro… – disse Giulia.
– No, io voglio andare alla festa. E poi non vedete che è una sfida? Secondo me è una specie di test d’ingresso per poter andare alla festa! – interruppe Dario.

Anche Andrea era d’accordo:

– Hai ragione, Dario, e poi questi giochini da dilettanti non dovrebbero spaventarci. Mettiamoci di buona lena e pensiamo a questa maledetta domanda.

Marteludico – La calcolatrice è rotta

Tutti i martedì proponiamo un gioco matematico. Potete provare a risolverlo e lasciare un commento con il risultato. Il martedì successivo verrà pubblicata la soluzione.

Giorgio trova in soffitta una vecchia calcolatrice, di cui funzionano tutti gli operatori, ma non tutte le cifre. In particolare Giorgio nota che solo tre cifre da 1 a 9 funzionano. Nemmeno lo zero funziona.

Giorgio allora addiziona i sei numeri che si possono formare usando le tre cifre distinte che ancora funzionano e scopre, con stupore, che il totale è ancora un numero che si scrive utilizzando le cifre di questi tre tasti.

Quali sono i tre tasti numerici che ancora funzionano sulla calcolatrice?

Il gioco di martedì scorso

Come tutti gli appassionati di matematica sanno bene, esiste un mondo in cui la popolazione si divide in cavalieri e furfanti. I cavalieri dicono sempre la verità, i furfanti mentono sempre.

Durante un evento matematico tenutosi proprio lì, sono stati riuniti 2.000 congressisti. Ciascuno di loro ha una e una sola specializzazione tra algebra, geometria e probabilità. A ciascuno di essi si pongono tre domande, in sequenza: “Lei si occupa di algebra?”, “Lei si occupa di geometria?”, “Lei si occupa di probabilità?”.

Le risposte affermative alle tre domande sono state, rispettivamente, 100, 540 e 1.610.

Quante persone hanno mentito?

Soluzione. Hanno mentito 250 persone. Ciascuno di essi, infatti, poteva rispondere alle tre domande in due modi differenti: sì-no-no (in qualsiasi ordine) se cavaliere, sì-sì-no (in qualsiasi ordine) se furfante. Se tutti avessero detto la verità, la totalità dei sì sarebbe stata di 2.000. Se tutti avessero mentito, sarebbe stata di 4.000. In pratica, ogni furfante aggiunge un sì al totale. Sommando i tre valori, otteniamo un totale di sì uguale a 100 + 450 + 1.610 = 2.250, da cui si deduce che devono esserci 250 bugiardi.

Una storia matematica – Capitolo otto

di Alessio Palmero Aprosio

Continua il racconto matematico in n puntate.

Il tovagliolo recitava:
Sia n un numero con più di due cifre, posso scriverlo come Error: http://www.tuttoenumero.it/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/ must have write access Read the official wpmathpub plugin FAQ for more details, dove b è un numero minore di 10. Ad esempio se Error: http://www.tuttoenumero.it/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/ must have write access Read the official wpmathpub plugin FAQ for more details, posso scriverlo Error: http://www.tuttoenumero.it/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/ must have write access Read the official wpmathpub plugin FAQ for more details, quindi Error: http://www.tuttoenumero.it/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/ must have write access Read the official wpmathpub plugin FAQ for more details e Error: http://www.tuttoenumero.it/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/ must have write access Read the official wpmathpub plugin FAQ for more details.
Ora la regola dice che se Error: http://www.tuttoenumero.it/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/ must have write access Read the official wpmathpub plugin FAQ for more details è divisibile per 7, allora lo è anche n.
Scriviamo quindi Error: http://www.tuttoenumero.it/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/ must have write access Read the official wpmathpub plugin FAQ for more details, dobbiamo far vedere che n può essere scritto come Error: http://www.tuttoenumero.it/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/ must have write access Read the official wpmathpub plugin FAQ for more details per qualche h intero.
Se Error: http://www.tuttoenumero.it/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/ must have write access Read the official wpmathpub plugin FAQ for more details, allora Error: http://www.tuttoenumero.it/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/ must have write access Read the official wpmathpub plugin FAQ for more details. Sostituendolo in Error: http://www.tuttoenumero.it/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/ must have write access Read the official wpmathpub plugin FAQ for more details otteniamo

Error: http://www.tuttoenumero.it/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/ must have write access Read the official wpmathpub plugin FAQ for more details

come volevasi dimostrare.

– La vostra dimostrazione mi sembra buona. – disse Chiara
– Lo credo bene – rispose Dario
Intervenne Andrea nella discussione:
– Ragazzi, mi sembra che stiamo scadendo un po’. Programmi per oggi pomeriggio?
– Lezioni non ne abbiamo.
– Mi hanno detto che c’è una specie di festa inaugurale poco fuori città per tutti gli studenti iscritti al primo anno.
– Sì, ma sarà questa sera.
– Alle 22.
– Beh, allora possiamo vederci magari più tardi, così abbiamo anche il tempo di mettere a posto le cose nelle nostre rispettive abitazioni.
– E di prepararci – intervenne Giulia
– Ben detto, Giulia! – disse Chiara
– Ho capito, Ci vediamo stasera, facciamo verso le nove? Andiamo con la mia macchina. – disse il motorizzato Dario
– Ma dove è questa festa? – chiese Giulia
– Credo che sia un una cascina poco fuori città.
– Ok, ci vediamo stasera alle nove in piazza, ok?
– Va bene, a dopo.

Per permettere alla storia di passare tutto il pomeriggio, ecco la dimostrazione del problema di cui si è parlato prima. Per cercare i divisori di un numero basta controllare tutti i numeri primi minori o uguali alla radice del numero stesso.

In realtà la risposta è molto semplice. Sia n il numero di cui si vogliono calcolare i fattori primi. Ovviamente non consideriamo n come divisore, in quanto banale.
Nel caso in cui il numero non abbia divisori la regola banalmente funziona: se non ne troviamo prima della radice di n, allora concludiamo che non ce ne sono, il che è vero per ipotesi.
Ipotizziamo invece che il numero abbia un divisore. Se esso si trova prima della radice di n, lo troviamo; quindi possiamo tranquillamente supporre che sia maggiore della radice di n.
Detto k tale divisore, esisterà un numero h tale che Error: http://www.tuttoenumero.it/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/ must have write access Read the official wpmathpub plugin FAQ for more details, per definizione di divisore. Ricordiamo che per quanto detto sopra, sicuramente Error: http://www.tuttoenumero.it/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/ must have write access Read the official wpmathpub plugin FAQ for more details. Sia ora m il numero (reale e positivo) tale che Error: http://www.tuttoenumero.it/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/ must have write access Read the official wpmathpub plugin FAQ for more details. Allora Error: http://www.tuttoenumero.it/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/ must have write access Read the official wpmathpub plugin FAQ for more details. Ma Error: http://www.tuttoenumero.it/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/ must have write access Read the official wpmathpub plugin FAQ for more details, quindi Error: http://www.tuttoenumero.it/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/ must have write access Read the official wpmathpub plugin FAQ for more details, da cui si deduce, semplificando per m, che Error: http://www.tuttoenumero.it/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/ must have write access Read the official wpmathpub plugin FAQ for more details, ovvero: se esiste un divisore k maggiore della radice di n, allora ne esisterà anche un altro h minore della radice di n. Una volta trovato h, è sufficiente fare Error: http://www.tuttoenumero.it/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/ must have write access Read the official wpmathpub plugin FAQ for more details per trovare l’altro divisore i.
Quindi, una volta trovati tutti i divisori minori della radice di n, abbiamo anche automaticamente trovato tutti quelli maggiori.

Marteludico – I bugiardi

Tutti i martedì proponiamo un gioco matematico. Potete provare a risolverlo e lasciare un commento con il risultato. Il martedì successivo verrà pubblicata la soluzione.

Come tutti gli appassionati di matematica sanno bene, esiste un mondo in cui la popolazione si divide in cavalieri e furfanti. I cavalieri dicono sempre la verità, i furfanti mentono sempre.

Durante un evento matematico tenutosi proprio lì, sono stati riuniti 2.000 congressisti. Ciascuno di loro ha una e una sola specializzazione tra algebra, geometria e probabilità. A ciascuno di essi si pongono tre domande, in sequenza: “Lei si occupa di algebra?”, “Lei si occupa di geometria?”, “Lei si occupa di probabilità?”.

Le risposte affermative alle tre domande sono state, rispettivamente, 100, 540 e 1.610.

Quante persone hanno mentito?

Il gioco di martedì scorso

Trovare tutti i numeri interi che, aumentati della somma delle loro cifre, danno come risultato 2002.

Soluzione. Gli unici due numeri che soddisfano a questo criterio sono 2000 e 1982. Una volta escluso 2001 e trovato 2000, si scopre facilmente che la somma massima per le cifre di un numero di quattro cifre inferiore a 2000 è 28 (1 + 9 + 9 + 9), quindi basta controllare a ritroso i numeri da 1999 a 1974. Si trova così velocemente l’unico altro numero con la caratteristica richiesta.

Una storia matematica – Capitolo sette

di Alessio Palmero Aprosio

Continua il racconto matematico in n puntate.

– Il problema, in questi casi, è di riuscire a modellizzarlo bene, ovverosia trasformare le informazioni in nostro possesso in “matematichese”, per poter risolvere il quesito applicando le regole che ci sono state insegnate dalla matematica.
– Beh, abbiamo due numeri la cui differenza è 11.111. Possiamo chiamarli x e y.
– Giusto, quindi Error: http://www.tuttoenumero.it/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/ must have write access Read the official wpmathpub plugin FAQ for more details.
– Ed inoltre sono quadrati perfetti.
– Come si traduce questo in matematichese?
– Be’, se intendiamo x e y come le radici dei numeri che cerchiamo, forse siamo facilitati nel risolvere il problema.

Andrea e Dario ascoltavano assorti (e anche un po’ divertiti).

– Quindi Error: http://www.tuttoenumero.it/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/ must have write access Read the official wpmathpub plugin FAQ for more details.
– E ora?
– Beh, possiamo scrivere Error: http://www.tuttoenumero.it/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/ must have write access Read the official wpmathpub plugin FAQ for more details.
– Caspita, non ci avevo proprio pensato. Ora basta scomporre in fattori primi 11.111 e il gioco è fatto, no? Tanto la scomposizione in fattori primi è unica, quindi non dovremmo avere problemi.
– Sì, sperando che 11.111 abbia solo due divisori primi.
– Perché?
– Altrimenti ci saranno più combinazioni di x e y. Se invece la scomposizione è unica, lo è anche la soluzione.
– Beh, dovrebbero essercene comunque due.
– Sì, ma una sarebbe negativa.
– Ah, sì, è vero. Beh, scomponiamo 11.111. Non è divisibile per 3, 5, 7…
– Come fai a sapere che non è divisibile per 7?
– Non conosci la regolina? Togli l’ultima cifra dal numero, in questo caso il numero 1. Poi lo raddoppi, e viene 2. Poi lo sottrai dal numero che ti è rimasto prima, ovvero 1.111. In questo caso 1.111 – 2 viene 1.109. Se questo è divisibile per 7 lo è anche l’altro, e viceversa.
– Sì, ma siamo al punto di partenza.
– Beh, possiamo iterare il metodo e applicarlo di nuovo con 1.109.
– Giusto, quindi tolgo il 9, lo raddoppio ottenendo 18 e lo sottraggo a 110. Viene 92.
– Giusto, ora prendi il 2, lo raddoppi ottenendo 4 e lo sottrai al 9. 9 – 4 fa 5, che non è divisibile per 7.
– Aspetta, non ci credo. Prendo 49, che so essere divisibile per 7. Voglio provare ad applicare la tua regolina. Raddoppio il 9 e viene 18. Ora faccio 4 – 18… ma viene un numero negativo.
– Che ti importa? Viene comunque -14 che è un multiplo di 7, anche se negativo.
– Caspita, ma è difficile da dimostrare?
– Non credo, ma al massimo lo facciamo fare ai saputelli qui a fianco…
– Giusto. Ora torniamo al nostro problema. Non è quindi divisibile per 3, 5, 7, nemmeno per 11, direi.
– No, infatti.

Nel frattempo anche Andrea e Dario si erano messi a scribacchiare su un tovagliolo.
Chiara riprese:

– Proviamo a vedere per 13.
– Il 13 nel 111… non mi pare.
– No, infatti. 17 nemmeno e neanche 19.
– Meglio, almeno aumentano le probabilità che la scomposizione sia unica.
– Nemmeno 23 e 27.
– Guarda che 27 è 9 per 3.
– Ah, già, non è primo.
– 29, 31, 37. Nemmeno loro vanno bene.
– Ma fino a dove dobbiamo arrivare? Fino a 11.111?
– No credo che basti la metà.

A questo punto intervenne Andrea:

– Vi dò uno sgamo: è sufficiente arrivare fino alla radice quadrata del numero, quindi nel vostro caso dovreste cavarvela smettendo intorno a 102 o 103… E ringraziate che non vi faccio dimostrare anche questo!
– Ok, stai tranquillo… Dove eravamo rimasti, Chiara?
– Al 37. Ora c’è il 41.
– Funziona! Il 41 va bene. 11.111 diviso 41 fa 271.
– Perfetto! Ora bisogna scomporre 271.
– E dobbiamo arrivare solamente fino alla radice di 271, quindi prima di 20.
– Sì, indicativamente sì.
– Beh, 3, 5, 7, 11 non vanno bene.
– Nemmeno 13, 17 e 19.
– Sì, è vero, quindi è primo! – urlò Giulia, non nascondendo soddisfazione.
– Quindi Error: http://www.tuttoenumero.it/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/ must have write access Read the official wpmathpub plugin FAQ for more details e Error: http://www.tuttoenumero.it/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/ must have write access Read the official wpmathpub plugin FAQ for more details. Ci siamo.
– Già, ora risolviamo il sistema.

Chiara e Giulia iniziarono a fare calcoli.

– Ecco! x è 156 e y è 115.
– Infatti se facciamo i quadrati vengono rispettivamente 13.225 e 24.336, la cui differenza è 11.111.

Andrea rispose con sufficienza:

– Va bene, ve la siete cavata. Questa invece è la nostra dimostrazione del vostro giochino sul 7.
– Date qua – e Chiara strappò di mano ad Andrea il tovagliolo.