di Alessio Palmero Aprosio

Continua il racconto matematico in n puntate.

La sera si trovarono tutti in piazza alle nove, più o meno in punto. Le ragazze arrivarono con qualche minuto di ritardo.

- E poi dicono che noi uomini abbiamo pregiudizi nei vostri confronti. – disse Andrea.
- Dai, che sono solo cinque minuti. – rispose Giulia.

Dario diplomaticamente disse:

- Salite in macchina, altrimenti non arriviamo più. Voi sapete dove andare?
- Certo! – rispose Andrea
- Qualcun altro sa dove dobbiamo andare? – disse sorridendo Dario
- Non ti fidi più di me? Al massimo chiediamo a qualcuno che incontriamo sulla strada, così da sfatare questo mito secondo cui gli uomini non vogliono mai chiedere informazioni.
- Io non ho mai detto niente, – intervenne Giulia – e poi siete voi quelli dei pregiudizi. Prima il bagno, ora il ritardo…
- C’è un bivio. Dove devo andare? – disse Dario – Il cartello è caduto.

I ragazzi si trovavano presso un bivio, ormai si era fatto buio. Sul lato della strada c’era un giovanotto che sembrava straniero, anch’egli con la sua macchina.

- Lui sicuramente saprà dove andare per la festa inaugurale. – disse Andrea
- Prova a chiederglielo. – rispose Dario
- Ora provo… Mi scusi, – il ragazzo si voltò e rimase in silenzio con un’espressione distaccata – saprebbe indicarmi la strada per la festa inaugurale dell’Università?

Il giovane rimase in silenzio e parve arrabbiato per il disturbo che i quattro studenti gli stavano creando.
Dall’altro lato della strada si sentì una voce:

- È svizzero.

A parlare era una persona piuttosto anziana, che sembrava essere apparso dal nulla.
Andrea si avvicinò al nuovo arrivato:

- Mi scusi, buon uomo, stiamo cercando una festa, non vediamo nessuno e a questo punto crediamo di esserci persi. Ci saprebbe indicare la strada per la cascina?
- Non so proprio aiutarvi, mi spiace. Sicuramente però lui potrà esservi di aiuto, solo che è svizzero.
- Quindi capisce e parla la nostra lingua, o per lo meno il francese, no?
- Nemmeno per sogno. Conosce solo lo svizzero.
- Ma che lingua è lo svizzero? In Svizzera parlano italiano, francese e tedesco. Non parlano lo svizzero.
- E invece questo parla lo svizzero, però capisce giustamente le tre lingue che hai appena elencato. Solo che non le parla.
- E come fa a rispondermi?
- Ti posso dire che “ra” e “ti” vogliono dire sì o no, ma non so quale dei due vuol dire sì e quale no.
- Be’, questo vuol dire che devo fargli una domanda la cui risposta sia sì o no, che per lui saranno ra e ti.
- Esatto, ma ricordati che non sai qual è il significato singolo dei due termini.
- Non è un problema, ho già in mente la domanda da fargli, sempre che lui capisca la mia lingua.
- Certo, la capisce alla perfezione.

Andrea si avvicinò al ragazzo svizzero quando il vecchio lo interruppe:

- Ah, dimenticavo. Gli svizzeri sono un popolo molto strano. Alcuni dicono sempre la verità, altri sempre il falso. Tieni conto di questo nella tua domanda.
- Ho capito, ma questo qui – indicando il giovane – è uno di quelli che mente sempre o uno di quelli che dice sempre la verità?
- Non ne ho la più pallida idea.
- Idea! Prima gli faccio una domanda per sapere questo, e poi quella per farmi dire qual è la strada giusta.
- Non credo che così funzioni. Gli svizzeri di solito si arrabbiano se devono rispondere a più di una domanda.
- Vuole dire che devo fargli una sola domanda?
- Già, una sola.
- Ma non so né se dice il vero o il falso, né cosa vogliono dire ra e ti. E tantomeno conosco la strada giusta.
- È un grosso problema, ma dovrai cavartela da solo, sempre che tu voglia andare alla festa.

Andrea si girò verso gli altri:

- Ragazzi, vogliamo proprio andare alla festa?
- Be’, possiamo optare per un gelato in centro… – disse Giulia.
- No, io voglio andare alla festa. E poi non vedete che è una sfida? Secondo me è una specie di test d’ingresso per poter andare alla festa! – interruppe Dario.

Anche Andrea era d’accordo:

- Hai ragione, Dario, e poi questi giochini da dilettanti non dovrebbero spaventarci. Mettiamoci di buona lena e pensiamo a questa maledetta domanda.

di Alessio Palmero Aprosio

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Il tovagliolo recitava:
Sia n un numero con più di due cifre, posso scriverlo come , dove b è un numero minore di 10. Ad esempio se , posso scriverlo , quindi e .
Ora la regola dice che se è divisibile per 7, allora lo è anche n.
Scriviamo quindi , dobbiamo far vedere che n può essere scritto come per qualche h intero.
Se , allora . Sostituendolo in otteniamo

come volevasi dimostrare.

- La vostra dimostrazione mi sembra buona. – disse Chiara
- Lo credo bene – rispose Dario
Intervenne Andrea nella discussione:
- Ragazzi, mi sembra che stiamo scadendo un po’. Programmi per oggi pomeriggio?
- Lezioni non ne abbiamo.
- Mi hanno detto che c’è una specie di festa inaugurale poco fuori città per tutti gli studenti iscritti al primo anno.
- Sì, ma sarà questa sera.
- Alle 22.
- Beh, allora possiamo vederci magari più tardi, così abbiamo anche il tempo di mettere a posto le cose nelle nostre rispettive abitazioni.
- E di prepararci – intervenne Giulia
- Ben detto, Giulia! – disse Chiara
- Ho capito, Ci vediamo stasera, facciamo verso le nove? Andiamo con la mia macchina. – disse il motorizzato Dario
- Ma dove è questa festa? – chiese Giulia
- Credo che sia un una cascina poco fuori città.
- Ok, ci vediamo stasera alle nove in piazza, ok?
- Va bene, a dopo.

Per permettere alla storia di passare tutto il pomeriggio, ecco la dimostrazione del problema di cui si è parlato prima. Per cercare i divisori di un numero basta controllare tutti i numeri primi minori o uguali alla radice del numero stesso.

In realtà la risposta è molto semplice. Sia n il numero di cui si vogliono calcolare i fattori primi. Ovviamente non consideriamo n come divisore, in quanto banale.
Nel caso in cui il numero non abbia divisori la regola banalmente funziona: se non ne troviamo prima della radice di n, allora concludiamo che non ce ne sono, il che è vero per ipotesi.
Ipotizziamo invece che il numero abbia un divisore. Se esso si trova prima della radice di n, lo troviamo; quindi possiamo tranquillamente supporre che sia maggiore della radice di n.
Detto k tale divisore, esisterà un numero h tale che , per definizione di divisore. Ricordiamo che per quanto detto sopra, sicuramente . Sia ora m il numero (reale e positivo) tale che . Allora . Ma per trovare l’altro divisore i.
Quindi, una volta trovati tutti i divisori minori della radice di n, abbiamo anche automaticamente trovato tutti quelli maggiori.

di Alessio Palmero Aprosio

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- Il problema, in questi casi, è di riuscire a modellizzarlo bene, ovverosia trasformare le informazioni in nostro possesso in “matematichese”, per poter risolvere il quesito applicando le regole che ci sono state insegnate dalla matematica.
- Beh, abbiamo due numeri la cui differenza è 11.111. Possiamo chiamarli x e y.
- Giusto, quindi .
- Ed inoltre sono quadrati perfetti.
- Come si traduce questo in matematichese?
- Be’, se intendiamo x e y come le radici dei numeri che cerchiamo, forse siamo facilitati nel risolvere il problema.

Andrea e Dario ascoltavano assorti (e anche un po’ divertiti).

- Quindi .
- E ora?
- Beh, possiamo scrivere .
- Caspita, non ci avevo proprio pensato. Ora basta scomporre in fattori primi 11.111 e il gioco è fatto, no? Tanto la scomposizione in fattori primi è unica, quindi non dovremmo avere problemi.
- Sì, sperando che 11.111 abbia solo due divisori primi.
- Perché?
- Altrimenti ci saranno più combinazioni di x e y. Se invece la scomposizione è unica, lo è anche la soluzione.
- Beh, dovrebbero essercene comunque due.
- Sì, ma una sarebbe negativa.
- Ah, sì, è vero. Beh, scomponiamo 11.111. Non è divisibile per 3, 5, 7…
- Come fai a sapere che non è divisibile per 7?
- Non conosci la regolina? Togli l’ultima cifra dal numero, in questo caso il numero 1. Poi lo raddoppi, e viene 2. Poi lo sottrai dal numero che ti è rimasto prima, ovvero 1.111. In questo caso 1.111 – 2 viene 1.109. Se questo è divisibile per 7 lo è anche l’altro, e viceversa.
- Sì, ma siamo al punto di partenza.
- Beh, possiamo iterare il metodo e applicarlo di nuovo con 1.109.
- Giusto, quindi tolgo il 9, lo raddoppio ottenendo 18 e lo sottraggo a 110. Viene 92.
- Giusto, ora prendi il 2, lo raddoppi ottenendo 4 e lo sottrai al 9. 9 – 4 fa 5, che non è divisibile per 7.
- Aspetta, non ci credo. Prendo 49, che so essere divisibile per 7. Voglio provare ad applicare la tua regolina. Raddoppio il 9 e viene 18. Ora faccio 4 – 18… ma viene un numero negativo.
- Che ti importa? Viene comunque -14 che è un multiplo di 7, anche se negativo.
- Caspita, ma è difficile da dimostrare?
- Non credo, ma al massimo lo facciamo fare ai saputelli qui a fianco…
- Giusto. Ora torniamo al nostro problema. Non è quindi divisibile per 3, 5, 7, nemmeno per 11, direi.
- No, infatti.

Nel frattempo anche Andrea e Dario si erano messi a scribacchiare su un tovagliolo.
Chiara riprese:

- Proviamo a vedere per 13.
- Il 13 nel 111… non mi pare.
- No, infatti. 17 nemmeno e neanche 19.
- Meglio, almeno aumentano le probabilità che la scomposizione sia unica.
- Nemmeno 23 e 27.
- Guarda che 27 è 9 per 3.
- Ah, già, non è primo.
- 29, 31, 37. Nemmeno loro vanno bene.
- Ma fino a dove dobbiamo arrivare? Fino a 11.111?
- No credo che basti la metà.

A questo punto intervenne Andrea:

- Vi dò uno sgamo: è sufficiente arrivare fino alla radice quadrata del numero, quindi nel vostro caso dovreste cavarvela smettendo intorno a 102 o 103… E ringraziate che non vi faccio dimostrare anche questo!
- Ok, stai tranquillo… Dove eravamo rimasti, Chiara?
- Al 37. Ora c’è il 41.
- Funziona! Il 41 va bene. 11.111 diviso 41 fa 271.
- Perfetto! Ora bisogna scomporre 271.
- E dobbiamo arrivare solamente fino alla radice di 271, quindi prima di 20.
- Sì, indicativamente sì.
- Beh, 3, 5, 7, 11 non vanno bene.
- Nemmeno 13, 17 e 19.
- Sì, è vero, quindi è primo! – urlò Giulia, non nascondendo soddisfazione.
- Quindi e . Ci siamo.
- Già, ora risolviamo il sistema.

Chiara e Giulia iniziarono a fare calcoli.

- Ecco! x è 156 e y è 115.
- Infatti se facciamo i quadrati vengono rispettivamente 13.225 e 24.336, la cui differenza è 11.111.

Andrea rispose con sufficienza:

- Va bene, ve la siete cavata. Questa invece è la nostra dimostrazione del vostro giochino sul 7.
- Date qua – e Chiara strappò di mano ad Andrea il tovagliolo.

di Alessio Palmero Aprosio

Continua il racconto matematico in n puntate.

- Allora, si può sapere cosa era questa storia del contachilometri? L’unica cosa che ho capito è che abbiamo fatto 11.111 metri inutilmente! – iniziò Chiara azzannando una fetta di pane.
- Ti spiego. – continuò Dario – Mentre le signorine erano in bagno – e su quel “signorine” le signorine fecero un’espressione di disaccordo – Andrea notava che le ultime cinque cifre del contachilometri formavano un quadrato perfetto, ovverosia – disse con fare altezzoso – la cui radice quadrata è un numero intero.
- Grazie per la spiegazione finale – aggiunse Chiara.
- Quando ci siamo fermati qui davanti Andrea notava che le ultime cifre del contachilometri, che poi in realtà è un conta-metri, erano di nuovo un quadrato perfetto. Tutto lì, Andrea ed io ci eravamo solo stupiti della coincidenza.
- E quali erano questi numeri? – intervenne Giulia
- Vorreste saperlo, eh? – continuò Dario
- Vi piacerebbe, eh? – aggiunse Andrea
- Beh, facciamo matematica, possiamo benissimo calcolarlo!
- Certo, Giulia. O meglio: forse, Giulia. Io e Andrea non vorremmo mai sopravvalutarvi…
- È una sfida? – così dicendo Giulia prese un tovagliolo e una biro e iniziò a fare i conti.
- Ma sono numeri interi, è un casino. – disse Chiara
- È una questione di principio, Chiara.

Nel frattempo Dario ed Andrea si stavano godendo la scena.

- Va bene, Giulia, che dati abbiamo?
- Due numeri di cinque cifre, entrambi quadrati perfetti, la cui differenza è 11.111.
- Non mi sembra molto.
- Però dovrebbe bastarci.

A quel punto intervenne Dario:

- Problemi a modellizzare il problema?
- Tutto è un problema – aggiunse Andrea
- Tutto è numero, come direbbe Pitagora.
- Già, Dario, quindi il problema è un numero?

Andrea e Dario scoppiarono a ridere, Chiara e Giulia no.

- Molto divertente. – disse Giulia in una finta risata
- Mia sorella fuma, la ciminiera fuma, quindi mia sorella è una ciminiera? Non è un discorso valido.

Andrea e Dario continuarono a ridere, Dario disse:

- Hai una sorella ciminiera?
- Beh, in effetti se fuma tanto il discorso regge. – aggiunse Andrea

E continuarono a ridere.
Chiara a Giulia:

- Questa però te la sei cercata!
- Non hai tutti i torti – rispose Giulia
- Credo che ormai dobbiamo risolvere il problema. Avevi ragione sulla “questione di principio”.