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Sotto la guida di Nando Geronimi e con la collaborazione di Alberto Menoncin, giovani e meno giovani hanno svolto una giornata di allenamento sui giochi matematici. E non solo: l’evento è stato anche un’occasione per presentare il gioco da tavolo Ventura, di Alberto Menoncin e Silvio Negri Clementi, edito da pochi mesi e che coniuga strategia gestionale e militare nell’Italia del Rinascimento.

Vedi le fotografie dell’incontro

Il Prof. Christian Boyer mi segnala un paio di siti interessanti:
www.morpionsolitaire.com
(tris solitario)

E 8000€ per risolvere alcuni problemi numerici di matematica ricreativa: www.multimagie.com/Francais/MagicSquaresEnigmasF.pdf (in francese)
www.multimagie.com/English/MagicSquaresEnigmasE.pdf (in inglese).

Riuscirà a vincerli qualche nostro prode paladino ?
Teneteci aggiornati, e buona fortuna !

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A breve verrà pubblicata anche la classifica generale.

1. 5105
2. 1 6 5 – 7 3 2 4 e 1 6 4 – 7 3 2 5
3. 200
4. 16
5. 312
6. 22
7. 15
8. 16
9. 11
10. 15-4 e 15-5
11. 56
12. 1-7-8 e 2-6-9
13. 20
14. 9
15. 10
16. 505
17. 14

Filippo e Clara lanciano a turno un dado a sei facce e sommano di volta in volta il risultato a quelli precedenti. A un certo punto Filippo esclama: “Siamo arrivati a 48. In effetti questo tiro è stato il primo per il quale la probabilità che il totale fosse maggiore o uguale a 48 è stata più del 50%”.

Quante volte è stato lanciato il dado?

Il gioco di martedì scorso

Cesco ama giocare con le tessere. Oggi ha trovato nel cassetto del comodino 45 tessere così contrassegnate:

• una tessera con scritto il numero 1;
• due tessere con scritto il numero 2;
• tre tessere con scritto il numero 3;
• …
• nove tessere con scritto il numero 9.

Quanti sono i possibili diversi numeri di 6 cifre che si possono comporre con le tessere?

Soluzione. Si possono comporre 446.914 numeri differenti.

Cesco ama giocare con le tessere. Oggi ha trovato nel cassetto del comodino 45 tessere così contrassegnate:

• una tessera con scritto il numero 1;
• due tessere con scritto il numero 2;
• tre tessere con scritto il numero 3;
• …
• nove tessere con scritto il numero 9.

Quanti sono i possibili diversi numeri di 6 cifre che si possono comporre con le tessere?

Il gioco di martedì scorso (di Giorgio Dendi)

• Esiste un triangolo con gli angoli in successione, in modo che misurino x, 2x, 3x? Sì, esiste, e gli angoli misurano 30°, 60°, 90°.
• Esiste un quadrilatero con gli angoli in successione, in modo che misurino x, 2x, 3x, 4x?
• Esiste un pentagono con gli angoli in successione, in modo che misurino x, 2x, 3x, 4x, 5x?
• …
• Esiste un poligono di n lati con gli angoli in successione, in modo che misurino x, 2x, 3x, … nx?

A quasi tutte queste domande la risposta è affermativa, meno che in pochi casi. Quando?

Soluzione. Immaginiamo di dover trovare le misure degli angoli del triangolo: saranno x, 2x, 3x, per un totale 6x. Siccome la somma degli angoli interni vale 180°, l’angolo minore misurerà 180°/6 = 30°, e quindi avremo 30°, 60°, 90°.
Passiamo al quadrilatero, dove gli angoli saranno x, 2x, 3x, 4x, per un totale di 10x. Siccome la somma degli angoli interni vale 2*180°, l’angolo minore misurerà 2*180°/10 = 36°, e quindi avremo 36°, 72°, 108°, 144°.
Passiamo al pentagono, dove gli angoli saranno x, 2x, 3x, 4x, 5x, per un totale di 15x. Siccome la somma degli angoli interni vale 3*180°, l’angolo minore misurerà 3*180°/15 = 36°, e quindi avremo 36°, 72°, 108°, 144°, 180°. Secondo i calcoli, fila tutto liscio, come nei casi precedenti, ma ci è capitato un angolo di 180°, cioè piatto, e quindi inesistente: la figura è degenere e diventa un quadrilatero, quindi un pentagono come richiesto non esiste.
Proseguendo come sopra, troviamo che un esagono avrà gli angoli con numeri decimali, a partire da 34,285714…°, l’ettagono avrà gli angoli multipli di 32,142857…°, e l’ottagono, avendo gli angoli di 30°, 60°, 90°, 120°, 150°, 180°, 210°, 240°, sarà nuovamente una figura degenere, e quindi non valida, avendo un angolo di 180°.
Proseguendo nei calcoli, non si trovano altre figure impossibili da ottenere, e quindi possiamo rispondere che esistono figure come richiesto con qualunque numero di lati, tranne 5 e 8, in quanto risultano degeneri.
Si può dare una risposta più rigorosa, osservando che la somma degli angoli di una figura di n lati vale (n-2)*180, e dividendo questo risultato per l’n-simo numero triangolare (la cui formula è n*(n+1)/2), si ottiene la misura dell’angolo minore.
L’angolo minore misurerà quindi 360*(n-2)/n*(n+1). Possiamo ottenere una figura degenere soltanto se uno dei suoi multipli vale180°. La ricerca ci dà nuovamente risultati solo nei casi n=5; n=8.

• Esiste un triangolo con gli angoli in successione, in modo che misurino x, 2x, 3x? Sì, esiste, e gli angoli misurano 30°, 60°, 90°.
• Esiste un quadrilatero con gli angoli in successione, in modo che misurino x, 2x, 3x, 4x?
• Esiste un pentagono con gli angoli in successione, in modo che misurino x, 2x, 3x, 4x, 5x?
• …
• Esiste un poligono di n lati con gli angoli in successione, in modo che misurino x, 2x, 3x, … nx?

A quasi tutte queste domande la risposta è affermativa, meno che in pochi casi. Quando?

Il gioco di martedi scorso

Giorgio trova in soffitta una vecchia calcolatrice, di cui funzionano tutti gli operatori, ma non tutte le cifre. In particolare Giorgio nota che solo tre cifre da 1 a 9 funzionano. Nemmeno lo zero funziona.

Giorgio allora addiziona i sei numeri che si possono formare usando le tre cifre distinte che ancora funzionano e scopre, con stupore, che il totale è ancora un numero che si scrive utilizzando le cifre di questi tre tasti.

Quali sono i tre tasti numerici che ancora funzionano sulla calcolatrice?

Soluzione. Il problema ammette tre triple possibili, multiple tra di loro

• 1, 2, 3
• 2, 4, 6
• 3, 6, 9.

Continua il racconto matematico in n puntate.

La sera si trovarono tutti in piazza alle nove, più o meno in punto. Le ragazze arrivarono con qualche minuto di ritardo.

- E poi dicono che noi uomini abbiamo pregiudizi nei vostri confronti. – disse Andrea.
- Dai, che sono solo cinque minuti. – rispose Giulia.

Dario diplomaticamente disse:

- Salite in macchina, altrimenti non arriviamo più. Voi sapete dove andare?
- Certo! – rispose Andrea
- Qualcun altro sa dove dobbiamo andare? – disse sorridendo Dario
- Non ti fidi più di me? Al massimo chiediamo a qualcuno che incontriamo sulla strada, così da sfatare questo mito secondo cui gli uomini non vogliono mai chiedere informazioni.
- Io non ho mai detto niente, – intervenne Giulia – e poi siete voi quelli dei pregiudizi. Prima il bagno, ora il ritardo…
- C’è un bivio. Dove devo andare? – disse Dario – Il cartello è caduto.

I ragazzi si trovavano presso un bivio, ormai si era fatto buio. Sul lato della strada c’era un giovanotto che sembrava straniero, anch’egli con la sua macchina.

- Lui sicuramente saprà dove andare per la festa inaugurale. – disse Andrea
- Prova a chiederglielo. – rispose Dario
- Ora provo… Mi scusi, – il ragazzo si voltò e rimase in silenzio con un’espressione distaccata – saprebbe indicarmi la strada per la festa inaugurale dell’Università?

Il giovane rimase in silenzio e parve arrabbiato per il disturbo che i quattro studenti gli stavano creando.
Dall’altro lato della strada si sentì una voce:

- È svizzero.

A parlare era una persona piuttosto anziana, che sembrava essere apparso dal nulla.
Andrea si avvicinò al nuovo arrivato:

- Mi scusi, buon uomo, stiamo cercando una festa, non vediamo nessuno e a questo punto crediamo di esserci persi. Ci saprebbe indicare la strada per la cascina?
- Non so proprio aiutarvi, mi spiace. Sicuramente però lui potrà esservi di aiuto, solo che è svizzero.
- Quindi capisce e parla la nostra lingua, o per lo meno il francese, no?
- Nemmeno per sogno. Conosce solo lo svizzero.
- Ma che lingua è lo svizzero? In Svizzera parlano italiano, francese e tedesco. Non parlano lo svizzero.
- E invece questo parla lo svizzero, però capisce giustamente le tre lingue che hai appena elencato. Solo che non le parla.
- E come fa a rispondermi?
- Ti posso dire che “ra” e “ti” vogliono dire sì o no, ma non so quale dei due vuol dire sì e quale no.
- Be’, questo vuol dire che devo fargli una domanda la cui risposta sia sì o no, che per lui saranno ra e ti.
- Esatto, ma ricordati che non sai qual è il significato singolo dei due termini.
- Non è un problema, ho già in mente la domanda da fargli, sempre che lui capisca la mia lingua.
- Certo, la capisce alla perfezione.

Andrea si avvicinò al ragazzo svizzero quando il vecchio lo interruppe:

- Ah, dimenticavo. Gli svizzeri sono un popolo molto strano. Alcuni dicono sempre la verità, altri sempre il falso. Tieni conto di questo nella tua domanda.
- Ho capito, ma questo qui – indicando il giovane – è uno di quelli che mente sempre o uno di quelli che dice sempre la verità?
- Non ne ho la più pallida idea.
- Idea! Prima gli faccio una domanda per sapere questo, e poi quella per farmi dire qual è la strada giusta.
- Non credo che così funzioni. Gli svizzeri di solito si arrabbiano se devono rispondere a più di una domanda.
- Vuole dire che devo fargli una sola domanda?
- Già, una sola.
- Ma non so né se dice il vero o il falso, né cosa vogliono dire ra e ti. E tantomeno conosco la strada giusta.
- È un grosso problema, ma dovrai cavartela da solo, sempre che tu voglia andare alla festa.

Andrea si girò verso gli altri:

- Ragazzi, vogliamo proprio andare alla festa?
- Be’, possiamo optare per un gelato in centro… – disse Giulia.
- No, io voglio andare alla festa. E poi non vedete che è una sfida? Secondo me è una specie di test d’ingresso per poter andare alla festa! – interruppe Dario.

Anche Andrea era d’accordo:

- Hai ragione, Dario, e poi questi giochini da dilettanti non dovrebbero spaventarci. Mettiamoci di buona lena e pensiamo a questa maledetta domanda.