Il ciondolo di Mara – soluzione

Riproponiamo innanzi tutto il testo del problema:

Simone compra per Mara un ciondolo perfettamente sferico. Mara nota subito che per poter far passare il filo che tiene il ciondolo, la sfera è stata forata al centro con un foro cilindrico che lo attraversa da parte a parte.

Sapendo che il foro è cilindrico e lungo 12 mm, calcolare il volume del ciondolo.

Chi avrà provato a cimentarsi nel problema, avrà immediatamente notato la mancanza del raggio tra i dati. In effetti, provando a dimostrare il problema, a un certo punto il raggio si semplifica ovunque, il che significa che la soluzione è generale e dipende solamente dall’altezza del foro e non dal raggio della sfera.

Sapendo quindi questa particolarità del problema, la soluzione diventa immediata, perché possiamo portare al limite l’altezza [pmath]h right 2r[/pmath]. Pertanto il volume del ciondolo equivale a quello della sfera. Eseguendo i calcoli, si ottiene

[pmath]V = 4/3 pi r^3 = 4/3 pi (h/2)^3 = 1/6 pi h^3[/pmath]

che è la soluzione cercata (nel caso particolare, [pmath]288 pi[/pmath] mm).

Altre soluzioni possibili, che non sfruttano l’informazione che la soluzione non dipende dal raggio, sono:

  • Geometria. Calcolare il volume della sfera, poi sottrarre il volume del cilindro e quello delle due calotte sferiche.
  • Analisi. Si consideri il ciondolo con il foro orizzontale e la si tagli verticalmente a metà; si ponga un riferimento cartesiano con l’origine al centro della sfera. Dopo di che si consideri una sottile fetta verticale, a forma di ciambella: il suo volume è il prodotto dello spessore dx per l’area della “ciambella” (cioè l’area del cerchio di raggio esterno meno l’area del cerchio interno). Infine si integri il tutto da 0 ad h/2, scoprendo che tutte le incognite si semplificano. (grazie a VincenzoV)
  • Analisi. Si consideri il quarto di sfera nel primo quadrante e una retta orizzontale. Poi si integri con la formula del volume di un solido di rotazione.
In tutti e tre i casi, a un certo punto si semplificherà il raggio e rimarrà l’unica incognita dell’altezza.

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato.