Il ciondolo di Mara – soluzione

Riproponiamo innanzi tutto il testo del problema:

Simone compra per Mara un ciondolo perfettamente sferico. Mara nota subito che per poter far passare il filo che tiene il ciondolo, la sfera è stata forata al centro con un foro cilindrico che lo attraversa da parte a parte.

Sapendo che il foro è cilindrico e lungo 12 mm, calcolare il volume del ciondolo.

Chi avrà provato a cimentarsi nel problema, avrà immediatamente notato la mancanza del raggio tra i dati. In effetti, provando a dimostrare il problema, a un certo punto il raggio si semplifica ovunque, il che significa che la soluzione è generale e dipende solamente dall’altezza del foro e non dal raggio della sfera.

Sapendo quindi questa particolarità del problema, la soluzione diventa immediata, perché possiamo portare al limite l’altezza [pmath]h right 2r[/pmath]. Pertanto il volume del ciondolo equivale a quello della sfera. Eseguendo i calcoli, si ottiene

[pmath]V = 4/3 pi r^3 = 4/3 pi (h/2)^3 = 1/6 pi h^3[/pmath]

che è la soluzione cercata (nel caso particolare, [pmath]288 pi[/pmath] mm).

Altre soluzioni possibili, che non sfruttano l’informazione che la soluzione non dipende dal raggio, sono:

  • Geometria. Calcolare il volume della sfera, poi sottrarre il volume del cilindro e quello delle due calotte sferiche.
  • Analisi. Si consideri il ciondolo con il foro orizzontale e la si tagli verticalmente a metà; si ponga un riferimento cartesiano con l’origine al centro della sfera. Dopo di che si consideri una sottile fetta verticale, a forma di ciambella: il suo volume è il prodotto dello spessore dx per l’area della “ciambella” (cioè l’area del cerchio di raggio esterno meno l’area del cerchio interno). Infine si integri il tutto da 0 ad h/2, scoprendo che tutte le incognite si semplificano. (grazie a VincenzoV)
  • Analisi. Si consideri il quarto di sfera nel primo quadrante e una retta orizzontale. Poi si integri con la formula del volume di un solido di rotazione.
In tutti e tre i casi, a un certo punto si semplificherà il raggio e rimarrà l’unica incognita dell’altezza.

Il ciondolo di Mara

Ecco un altro giochino, più “classico”, per allenare la mente.

Simone compra per Mara un ciondolo perfettamente sferico. Mara nota subito che per poter far passare il filo che tiene il ciondolo, la sfera è stata forata al centro come in figura.

Sapendo che il foro è cilindrico e lungo 12 mm, calcolare il volume del ciondolo.

Soluzione