Marteludico – Le tessere

Tutti i martedì proponiamo un gioco matematico. Potete provare a risolverlo e lasciare un commento con il risultato. Il martedì successivo verrà pubblicata la soluzione.

Cesco ama giocare con le tessere. Oggi ha trovato nel cassetto del comodino 45 tessere così contrassegnate:

  • una tessera con scritto il numero 1;
  • due tessere con scritto il numero 2;
  • tre tessere con scritto il numero 3;
  • nove tessere con scritto il numero 9.

Quanti sono i possibili diversi numeri di 6 cifre che si possono comporre con le tessere?

Il gioco di martedì scorso (di Giorgio Dendi)

  • Esiste un triangolo con gli angoli in successione, in modo che misurino x, 2x, 3x? Sì, esiste, e gli angoli misurano 30°, 60°, 90°.
  • Esiste un quadrilatero con gli angoli in successione, in modo che misurino x, 2x, 3x, 4x?
  • Esiste un pentagono con gli angoli in successione, in modo che misurino x, 2x, 3x, 4x, 5x?
  • Esiste un poligono di n lati con gli angoli in successione, in modo che misurino x, 2x, 3x, … nx?

A quasi tutte queste domande la risposta è affermativa, meno che in pochi casi. Quando?

Soluzione. Immaginiamo di dover trovare le misure degli angoli del triangolo: saranno x, 2x, 3x, per un totale 6x. Siccome la somma degli angoli interni vale 180°, l’angolo minore misurerà 180°/6 = 30°, e quindi avremo 30°, 60°, 90°.
Passiamo al quadrilatero, dove gli angoli saranno x, 2x, 3x, 4x, per un totale di 10x. Siccome la somma degli angoli interni vale 2*180°, l’angolo minore misurerà 2*180°/10 = 36°, e quindi avremo 36°, 72°, 108°, 144°.
Passiamo al pentagono, dove gli angoli saranno x, 2x, 3x, 4x, 5x, per un totale di 15x. Siccome la somma degli angoli interni vale 3*180°, l’angolo minore misurerà 3*180°/15 = 36°, e quindi avremo 36°, 72°, 108°, 144°, 180°. Secondo i calcoli, fila tutto liscio, come nei casi precedenti, ma ci è capitato un angolo di 180°, cioè piatto, e quindi inesistente: la figura è degenere e diventa un quadrilatero, quindi un pentagono come richiesto non esiste.
Proseguendo come sopra, troviamo che un esagono avrà gli angoli con numeri decimali, a partire da 34,285714…°, l’ettagono avrà gli angoli multipli di 32,142857…°, e l’ottagono, avendo gli angoli di 30°, 60°, 90°, 120°, 150°, 180°, 210°, 240°, sarà nuovamente una figura degenere, e quindi non valida, avendo un angolo di 180°.
Proseguendo nei calcoli, non si trovano altre figure impossibili da ottenere, e quindi possiamo rispondere che esistono figure come richiesto con qualunque numero di lati, tranne 5 e 8, in quanto risultano degeneri.
Si può dare una risposta più rigorosa, osservando che la somma degli angoli di una figura di n lati vale (n-2)*180, e dividendo questo risultato per l’n-simo numero triangolare (la cui formula è n*(n+1)/2), si ottiene la misura dell’angolo minore.
L’angolo minore misurerà quindi 360*(n-2)/n*(n+1). Possiamo ottenere una figura degenere soltanto se uno dei suoi multipli vale180°. La ricerca ci dà nuovamente risultati solo nei casi n=5; n=8.

7 pensieri su “Marteludico – Le tessere

  1. I numeri in totale sarebbero 9 alla 6. Andiamo a togliere quelli “illegali”.
    Di illegale a causa di troppi 5 ce n’è uno: 555555
    Di illegali a causa di troppi 4 ce n’è uno (444444) più 6 (posizioni) x 8 (numeri diversi dall’illegale).
    Causa 3 ce ne saranno come per il 4 + “2 su 6 = 15” (posizioni) x 8.
    Etcetera, ci troveremo con:
    +1
    +1+6×8
    +1+6×8+15×8
    +1+6×8+15×8+20×8
    +1+6×8+15×8+20×8+15×8

    Se siamo abbastanza svegli da accorgercene, unendo le righe 2 con 5 e 3 con 4 e raccogliendo l’8 ci troviamo con:
    +1
    +8x[somma della 6a riga di tartaglia (logico perchè sono numeri che vengono da combinazioni, quindi presi da quella riga di tartaglia)]
    +8x[somma della 6a riga di tartaglia]

    Se ci ricordiamo che somma dell’n-esima riga di tartaglia è 2 alla n:
    +1+2x8x(2^6)

    Vanno però tolti gli illegali contati due volte:
    333311 e 22211X
    1 + 9×6

    Quindi gli illegali sono
    1+2x8x(2^6)-1-9×6 = 2x8x(2^6)-9×6

    La soluzione sarà allora
    (9^6) – (2x8x(2^6)-9×6)

    Lo so è una soluzione lunga e non scalabile… Ma non me ne viene una migliore ed è tardi =)

  2. In una riga di Python!
    len(tuple(n for n in range(100000, 1000000) if str(n).count(‘0’) == 0 and str(n).count(‘1’) <= 1 and str(n).count('2') <= 2 and str(n).count('3') <= 3 and str(n).count('4') <= 4 and str(n).count('5') <= 5))

    Ora… come dire che il risultato viene diverso dal mio sopra? ^^
    Uffa!

  3. Ciao non ho capito perchè quando togli i numeri con troppi 3 fai 15 X 8 . quindici sono le posizioni che la coppia può assumere ma i valori che puoi dare alle due posizioni non sono 8×8 ? invece ho perso come hai fatto a calcolare i numeri contati 2 volte ..

  4. Ok ho trovato due errori nella mia soluzione grazie agli input di Cesco e Cry. Questa è giusta 🙂

    ######## SOLUZIONE
    Il numero “lordo” di possibilità è ovviamente 9^6; da questi dovremo togliere tutte quelle “illegali” perchè usano troppe tessere di una certa cifra.

    Analizziamo gli illegali in base alla cifra ripetuta troppe volte (ovviamente non c’è modo di esaurire le tessere con le cifre da 6 a 9, quindi partiamo dal 5):
    Troppi 5 – solo uno: 555555 – 1
    Troppi 4 – 444444 (come sopra) e quelli nella forma 44444X dove X può prendere /1 su 6 = 6/ posizioni e 8 valori (1…3,5…9) – 1 + 6*8
    Troppi 3 – tutti come sopra (333333, 33333X -> 1 + 6*8) e 3333XX dove la coppia XX può prendere /2 su 6 = 15/ posizioni e 8^2 valori – 1 + 6*8 + 15*8^2
    E continuiamo così, aumentando il k della binomiale e l’esponente dell’8…
    Troppi 2 – 1 + 6*8 + 15*8^2 + 20*8^3
    Troppi 1 – 1 + 6*8 + 15*8^2 + 20*8^3 + 15*8^4
    Facendo un po’ di raccoglimenti calcoliamo che gli illegali sono 84997

    Ora dobbiamo escludere quegli illegali che abbiamo contato due volte, perchè illegali per due diverse cifre; essi possono essere solo:
    333311 e le sue combinazioni /2 su 6/ = 15
    222211 e le sue combinazioni /2 su 6/ = 15
    222111 e le sue combinazioni /3 su 6/ = 20
    22211K con K = [3…9] – /1 su 6 = 6/ posizioni di K * 7 valori di K * /2 su 5 = 10/ combinazioni di 22211 – 6 * 7 * 10 = 420
    N.B. 22211X va considerato separatamente per X = [2; 1] perchè quando ha uno di quei valori bisogna considerare la ripetizione. Ad esempio 222111 verrebbe considerato tre volte: 22211X, 2221X1 e 222X11 con X = 1.
    Quindi gli illegali sono 15 + 15 + 20 + 420 = 470

    La nostra soluzione sarà quindi 9^6 – (84997-470) = 446.914

  5. Io l’ho fatto con Perl e fortunatamente trovo la stessa risposta.

    #!/usr/bin/perl

    for $n (111111..999999) {
    $fail=0;

    for $i (0..5) {
    $t=$n;
    $count[$i]=$t=~s/$i//g;
    #print “$n has $count[$i] copies of $i\n”;
    if ($count[$i]>$i) {
    $fail=1;
    }
    }
    if ($fail==0) {
    $s++;
    print “$n passes all tests – example $s\n”;
    }

    }
    print “$s numbers fit pattern\n”;

    ultima riga di output: 446914 numbers fit pattern

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