Tutti i martedì proponiamo un gioco matematico. Potete provare a risolverlo e lasciare un commento con il risultato. Il martedì successivo verrà pubblicata la soluzione.
Cesco ama giocare con le tessere. Oggi ha trovato nel cassetto del comodino 45 tessere così contrassegnate:
- una tessera con scritto il numero 1;
- due tessere con scritto il numero 2;
- tre tessere con scritto il numero 3;
- …
- nove tessere con scritto il numero 9.
Quanti sono i possibili diversi numeri di 6 cifre che si possono comporre con le tessere?
Il gioco di martedì scorso (di Giorgio Dendi)
- Esiste un triangolo con gli angoli in successione, in modo che misurino x, 2x, 3x? Sì, esiste, e gli angoli misurano 30°, 60°, 90°.
- Esiste un quadrilatero con gli angoli in successione, in modo che misurino x, 2x, 3x, 4x?
- Esiste un pentagono con gli angoli in successione, in modo che misurino x, 2x, 3x, 4x, 5x?
- …
- Esiste un poligono di n lati con gli angoli in successione, in modo che misurino x, 2x, 3x, … nx?
A quasi tutte queste domande la risposta è affermativa, meno che in pochi casi. Quando?
Soluzione. Immaginiamo di dover trovare le misure degli angoli del triangolo: saranno x, 2x, 3x, per un totale 6x. Siccome la somma degli angoli interni vale 180°, l’angolo minore misurerà 180°/6 = 30°, e quindi avremo 30°, 60°, 90°.
Passiamo al quadrilatero, dove gli angoli saranno x, 2x, 3x, 4x, per un totale di 10x. Siccome la somma degli angoli interni vale 2*180°, l’angolo minore misurerà 2*180°/10 = 36°, e quindi avremo 36°, 72°, 108°, 144°.
Passiamo al pentagono, dove gli angoli saranno x, 2x, 3x, 4x, 5x, per un totale di 15x. Siccome la somma degli angoli interni vale 3*180°, l’angolo minore misurerà 3*180°/15 = 36°, e quindi avremo 36°, 72°, 108°, 144°, 180°. Secondo i calcoli, fila tutto liscio, come nei casi precedenti, ma ci è capitato un angolo di 180°, cioè piatto, e quindi inesistente: la figura è degenere e diventa un quadrilatero, quindi un pentagono come richiesto non esiste.
Proseguendo come sopra, troviamo che un esagono avrà gli angoli con numeri decimali, a partire da 34,285714…°, l’ettagono avrà gli angoli multipli di 32,142857…°, e l’ottagono, avendo gli angoli di 30°, 60°, 90°, 120°, 150°, 180°, 210°, 240°, sarà nuovamente una figura degenere, e quindi non valida, avendo un angolo di 180°.
Proseguendo nei calcoli, non si trovano altre figure impossibili da ottenere, e quindi possiamo rispondere che esistono figure come richiesto con qualunque numero di lati, tranne 5 e 8, in quanto risultano degeneri.
Si può dare una risposta più rigorosa, osservando che la somma degli angoli di una figura di n lati vale (n-2)*180, e dividendo questo risultato per l’n-simo numero triangolare (la cui formula è n*(n+1)/2), si ottiene la misura dell’angolo minore.
L’angolo minore misurerà quindi 360*(n-2)/n*(n+1). Possiamo ottenere una figura degenere soltanto se uno dei suoi multipli vale180°. La ricerca ci dà nuovamente risultati solo nei casi n=5; n=8.
