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Una storia matematica – Capitolo zero

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di Alessio Palmero Aprosio

Pubblichiamo, da oggi ogni venerdì per n puntate (non vi dico quante sono: lo saprete solo alla fine), il racconto di alcuni ragazzi che si accingono a iscriversi all’Università. Ogni riferimento a persone, cose o numeri è puramente casuale.

Capitolo zero

Il candidato entrò dalla porta dell’aula, un po’ teso. La sala era grande, circa duecento posti, tutti rigorosamente vuoti. Andrea era l’unico di quella tiepida giornata di ottobre, l’unico e ultimo candidato di quell’ultimo appello di geometria prima dell’inizio delle lezioni del nuovo anno accademico. Entrò dalla porta posta sulla destra della lavagna; c’erano due porte per entrare nell’aula, una sulla destra e una sulla sinistra, una per gli studenti e una per i docenti, o almeno così diceva il regolamento.

Il docente:

– Il suo nome, prego.
– Davide Greco.
– È qui per l’esame di geometria, vero?
– Sì, secondo modulo.
– Beh, iniziamo in modo… standard. C’è un argomento del corso che le è piaciuto particolarmente?
– Così su due piedi…
– Non so, una parte del programma che l’ha colpita particolarmente.
– Spazi topologici.
– Bene, che cos’è uno spazio topologico?

Il giovane iniziò l’esposizione zoppicando un po’.

– Uno spazio topologico. Allora, dato uno spazio W, anzi no, dato un insieme X e una topologia tau…

Dopo circa 40 minuti l’orale stava volgendo al termine. Il candidato non era stato all’altezza della situazione, e il docente sarebbe dovuto andare, di lì a poco, a svolgere la prima lezione del nuovo anno accademico ai nuovi iscritti.

– Mi disegni una retta.

Il candidato tracciò una linea sulla lavagna.

– Non ci siamo, mi dia la definizione euclidea di retta.
– Una retta è una linea infinita.
– Meglio definita come lunghezza senza larghezza, non è così?
– Be’, sì…
– E le sembra lunghezza senza larghezza? Quello è un segmento, non una retta.

Il candidato allungò la linea fino al bordo della lavagna.

– Prosegua pure sul muro.

Così fece.

– Vada pure avanti, fuori dalla porta.

Così dicendo il candidato uscì dalla porta sulla destra della lavagna, e il docente da quella sulla sinistra.

(continua)

Linguaggio matematico

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Da qualche giorno è installato sul blog un nuovo plugin che permette di inserire caratteri matematici all’interno dei post e dei commenti. La libreria utilizzata è phpMathPublisher ed è corredata da una completa documentazione.

Per poter inserire caratteri matematici all’interno dei commenti è sufficiente racchiuderli tra [pmath] e [/pmath].

Ad esempio la stringa:

[pmath]int{a}{b}{x}[/pmath]

diventerà

[pmath]int{a}{b}{x}[/pmath].

Il ciondolo di Mara – soluzione

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Riproponiamo innanzi tutto il testo del problema:

Simone compra per Mara un ciondolo perfettamente sferico. Mara nota subito che per poter far passare il filo che tiene il ciondolo, la sfera è stata forata al centro con un foro cilindrico che lo attraversa da parte a parte.

Sapendo che il foro è cilindrico e lungo 12 mm, calcolare il volume del ciondolo.

Chi avrà provato a cimentarsi nel problema, avrà immediatamente notato la mancanza del raggio tra i dati. In effetti, provando a dimostrare il problema, a un certo punto il raggio si semplifica ovunque, il che significa che la soluzione è generale e dipende solamente dall’altezza del foro e non dal raggio della sfera.

Sapendo quindi questa particolarità del problema, la soluzione diventa immediata, perché possiamo portare al limite l’altezza [pmath]h right 2r[/pmath]. Pertanto il volume del ciondolo equivale a quello della sfera. Eseguendo i calcoli, si ottiene

[pmath]V = 4/3 pi r^3 = 4/3 pi (h/2)^3 = 1/6 pi h^3[/pmath]

che è la soluzione cercata (nel caso particolare, [pmath]288 pi[/pmath] mm).

Altre soluzioni possibili, che non sfruttano l’informazione che la soluzione non dipende dal raggio, sono:

  • Geometria. Calcolare il volume della sfera, poi sottrarre il volume del cilindro e quello delle due calotte sferiche.
  • Analisi. Si consideri il ciondolo con il foro orizzontale e la si tagli verticalmente a metà; si ponga un riferimento cartesiano con l’origine al centro della sfera. Dopo di che si consideri una sottile fetta verticale, a forma di ciambella: il suo volume è il prodotto dello spessore dx per l’area della “ciambella” (cioè l’area del cerchio di raggio esterno meno l’area del cerchio interno). Infine si integri il tutto da 0 ad h/2, scoprendo che tutte le incognite si semplificano. (grazie a VincenzoV)
  • Analisi. Si consideri il quarto di sfera nel primo quadrante e una retta orizzontale. Poi si integri con la formula del volume di un solido di rotazione.
In tutti e tre i casi, a un certo punto si semplificherà il raggio e rimarrà l’unica incognita dell’altezza.

Il ciondolo di Mara

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Ecco un altro giochino, più “classico”, per allenare la mente.

Simone compra per Mara un ciondolo perfettamente sferico. Mara nota subito che per poter far passare il filo che tiene il ciondolo, la sfera è stata forata al centro come in figura.

Sapendo che il foro è cilindrico e lungo 12 mm, calcolare il volume del ciondolo.

Soluzione

Il coltellino – soluzione

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Come promesso, ecco la soluzione del problema del coltellino.

Riproponiamo innanzi tutto il testo del problema.

Due fratelli portano dei polli al mercato, e li vendono tutti al prezzo unitario uguale al numero dei polli che avevano all’inizio.

Arrivati a casa si dividono i soldi incassati: hanno tante banconote da 10 euro, e le dispongono sul tavolo. Poi ci sono alcune monete da 1 euro.

Si dividono allora le banconote in parti uguali. Ma avanza una banconota da 10 euro. “Me la prendo io”, dice il fratello maggiore. “Allora io mi prendo gli spiccioli” replica il minore.

Poco dopo però il minore si accorge di aver ricevuto meno soldi del fratello, e, alle sue proteste, riceve dal maggiore un coltellino, che aveva da prima. Così sono tutti contenti. Quanto vale il coltellino?

In pratica, se n è il numero dei polli, l’incasso totale sarà n2. Inoltre, dal testo si evince che il numero di banconote da 10 euro è dispari; data infine la lamentela del fratello minore, il numero di monete da 1 euro è inferiore a 10. Da queste premesse si può concludere che il valore delle decine dell’incasso totale è una cifra dispari.

Vediamo la tabella dei quadrati dei primi 40 numeri interi.

Abbiamo cerchiato tutti i numeri in cui la cifra delle decine è un numero dispari. Guardando attentamente si nota che in questi quadrati la cifra delle unità è sempre 6 (se qualcuno vuole scrivere una dimostrazione di questo fatto, saremo lieti di pubblicarla). L’incasso dei due fratelli sarà pertanto un numero di euro che termina per 6 e tante saranno le monete da 1 euro in tasca al fratello minore.

La differenza tra l’incasso del fratello maggiore e quello del fratello minore è 4 euro, pertanto il coltellino vale 2 euro (infatti, nel momento in cui il fratello maggiore se ne priva, il capitale che possiede scende di 2 euro; della medesima cifra aumenta il capitale del fratello, per cui la somma è 4).

Il coltellino

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Pubblichiamo volentieri un gioco ideato da Giorgio Dendi. Chi era a Caldé quest’anno probabilmente ha già avuto l’occasione di cimentarsi con il rompicapo; per tutti gli altri, eccolo qui.

Due fratelli portano dei polli al mercato, e li vendono tutti al prezzo unitario uguale al numero dei polli che avevano all’inizio.

Arrivati a casa si dividono i soldi incassati: hanno tante banconote da 10 euro, e le dispongono sul tavolo. Poi ci sono alcune monete da 1 euro.

Si dividono allora le banconote in parti uguali. Ma avanza una banconota da 10 euro. “Me la prendo io”, dice il fratello maggiore. “Allora io mi prendo gli spiccioli” replica il minore.

Poco dopo però il minore si accorge di aver ricevuto meno soldi del fratello, e, alle sue proteste, riceve dal maggiore un coltellino, che aveva da prima. Così sono tutti contenti. Quanto vale il coltellino?

La soluzione verrà pubblicata nei prossimi giorni.

Quanto è convienente tradire?

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di Cesco Reale

Pubblico qui dei miei appunti (in inglese, chiedo venia) di teoria dei giochi, se qualcuno avesse dei commenti in merito puó scrivermi all’indirizzo email contenuto nel pdf e saró lieto di rispondere.
Il secondo pdf è una selezione delle parti principali.

100828-HowMuchIsConvenientToDefect.pdf

101117-HowMuchIsConvenientToDefect-highlights.pdf

How much is convenient to defect ?
A method to estimate the cooperation probability in Prisoner’s Dilemma and other games

In many cases the Nash equilibria are not predictive of the experimen-
tal players’ behaviour. For some games of Game Theory it is proposed
here a method to estimate the probabilities with which the di erent op-
tions will be actually chosen by the players. These probabilities can also
be interpreted as competitive mixed strategies. The method is shaped on
the Prisoner’s Dilemma, then generalized for asymmetric tables, N players
and N options. It is adapted to other conditions like Chicken Game, Bat-
tle of the Sexes, Stag Hunt and then applied to other games like Diner’s
Dilemma, Public Goods Game, Traveler’s Dilemma and War of Attrition.
These games are so analyzed in a probabilistic way that is consistent to
what we could expect intuitively, overcoming some known paradoxes of
the Game Theory.

Zerazione, pseudoordinamento e numeri Escheriani

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di Cesco Reale

Pubblico qui dei miei appunti su un tema matematico poco studiato, se qualcuno avesse dei commenti in merito puó scrivermi all’indirizzo email contenuto nel pdf e saró lieto di rispondere.

(aggiornamento 14.8.2012: http://arxiv.org/abs/1205.1703)

2010-08-31–ZerazionePseudoordinamentoENumeriEscheriani.pdf

Osservando le relazioni esistenti tra le operazioni elementari di som-
ma, prodotto (iterazione di somme) ed elevamento a potenza (iterazione
di prodotti), viene defi nita una nuova operazione (denominata zerazione)
coerente con queste leggi e tale che la somma risulti un’iterazione di
zerazioni. La zerazione risulta coerente con la funzione di Ackermann.
Defi nita l’operazione inversa della zerazione (denominata antizerazione),
si osserva che essa non è chiusa su R. Viene defi nito cosí un nuovo in-
sieme numerico (denominato E, numeri escheriani) che consenta di chi-
udere l’antizerazione su R. Defi nita la nozione di pseudoordinamento,
vengono analizzate l’addizione e la moltiplicazione su E, e si trova una
corrispondenza tra E e C. Si estende infi ne la zerazione a C, in maniera
che l’antizerazione sia chiusa anche su C.

Un problema di Parigi

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Presentiamo qui di seguito testo e soluzione del gioco n. 16 dell’ultima edizione dei Campionati Internazionali di Giochi Matematici, appena tenutisi a Parigi. La soluzione è stata curata da Giorgio Dendi.

Testo

Su una quadrettatura regolare e orientata, si ricoprono dei rettangoli o quadrati 2xn solamente con rettangoli 1×2 o 2×1 e quadrati 1×1. Per esempio, il quadrato 2×2 può venir ricoperto in 7 modi diversi, come indicato in figura. In quanti modi diversi può esser ricoperto un rettangolo 2×7?

 

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